8月29日（まえがき）
数式を前にしたとき、ふと「とんでもない発見をしてしまったのでは」と思う瞬間がある。今日は二次方程式と三次方程式の間をさまよって、「3=0」というあり得ない等式に行き着いた。間違いだとわかっていながらも、そこに至る過程や錯覚が妙に記憶に残る。そんな“迷子の記録”を残しておきたい。
先にこんな証明が成立するのでは…？
スタートは二次方程式
x^2 + x + 1 = 0
これを少しいじると、こんな“証明らしきもの”ができてしまう。
x^2 + x + 1 = 0
→ x + 1 + 1/x = 0 （両辺を x で割った形にする）
→ x + 1 = -x^2
→ 1/x = x^2
→ x^3 = 1
つまり解は x=1 である……はずだ、と。
ところが元の式に戻して代入してみると、
1^2 + 1 + 1 = 3
右辺は0だから「3=0」。
この時点で強烈な違和感。「矛盾を発見したのか？」「新しい数学の扉を開いたのか？」そんな気分になる。
因数分解が明かす真相
落ち着いて恒等式を思い出す。
x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)
この式が教えてくれるのは、二次方程式と三次方程式の関係。
- x^2 + x + 1 = 0 が成り立つなら必ず x^3 = 1 も成り立つ。
- ただし逆は違う。x^3 = 1 の解は x=1 か、もしくは二次方程式の解。
つまり「解集合が広がってしまった」のが落とし穴。
本当の解は複素数にあった
二次方程式を解の公式で処理すると、
x = (-1 ± √(1 – 4)) / 2 = -1/2 ± (√3/2)i
という2つの解が得られる。実数解は存在せず、どちらも複素数。三乗すると確かに1になる。
つまり三次方程式 x^3 = 1 の解は3つ（1と複素数2つ）。そのうち二次方程式が拾っているのは複素数の2つだけ。x=1 は余分に混ざった候補で、代入して弾かれる。
「3=0」が語るもの
最初の“証明”で矛盾が出たのは、新しい真理を見つけたからではなく、解集合が広がったのに確認を怠ったから。
候補を狭めるステップを飛ばした結果、「3=0」という荒唐無稽な等式が姿を見せただけだった。
数式の迷路に迷い込む感覚
この一件で強く感じたのは、矛盾にぶつかる瞬間の鮮烈さ。代入して「3=0」が現れたとき、心臓がドキッとした。間違いだとわかっていても、頭の奥で「本当に世界が崩れるかも」と思ってしまう。
実際には矛盾そのものが、思考の中でどこを飛ばしたかを教えてくれるサインだった。数式の迷路に迷い込み、そこで行き止まりを発見し、振り返る。そのプロセス自体が、自分には、強烈なバックアップになる。
コメント